Итерационная формула Герона

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

[math]\displaystyle{ x_{n+1}=\frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ }[/math],

где a — фиксированное положительное число, а [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] быстро сходится к величине [math]\displaystyle{ \sqrt{a} }[/math] (квадратный корень из числа), то есть

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \sqrt{a} }[/math]

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения [math]\displaystyle{ a - x^2 = 0 }[/math].

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения [math]\displaystyle{ \sqrt{25} }[/math] будет значение 3.

n	[math]\displaystyle{ x_n }[/math]	[math]\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ }[/math]	Приблизительное значение [math]\displaystyle{ x_{n+1} }[/math]
1	3	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}~\left(3 + \frac{25}{3}\right)\ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}~(3 + 8.33) = \frac{1}{2} \cdot 11.33 \approx 5.67 }[/math]
2	5.67	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}~\left(5.67 + \frac{25}{5.67}\right)\ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}~(5.67 + 4.41) = \frac{1}{2} \cdot 10.08 = 5.04 }[/math]
3	5.04	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}~\left(5.04 + \frac{25}{5.04}\right)\ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}~(5.04 + 4.96) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 }[/math]
4	5	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}~\left(5 + \frac{25}{5}\right)\ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}~(5 + 5) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 }[/math]

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература